integral alma kuralları

BELİRSİZ İNTEGRAL

TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.

Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak üzere,



F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C

Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.

Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.

ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;

- f(x) fonksiyonuna integrand,

- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,

- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi bilemeyiz.

- ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.

TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur


ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.

TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.

Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.

Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.

TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.


ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,

ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.


TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )

2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)

3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C

4) ſ eª da = eª + C

5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})

6) ſ sinx dx = -cosx + C

7) ſ cosx dx = -sinx + C

8) ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C

9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C

10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C

11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C